思考一个问题：如果有两个选择，其一是立即拿走 100 万元现金；其二是第 1 天只能拿到 1 分钱，第 2 天能拿到 2 分，第 3 天能拿到 4 分，就这样接连的 27 天里每天都能拿走前一天的两倍。

该怎么选？

先别急着回答，不妨动手算下第二种选择：到第 30 天，这枚最初微不足道的 1 分钱硬币，究竟翻滚成了多大的数字。

从 1 分钱到 536 万元，这样的增长速度，是不是超出了你的直觉？

其实早在千百年前，古人就已经用一张 64 格的棋盘与几捧麦粒，记录下了人类最早领教指数威力的时刻，这就是数学上的小麦与棋盘问题（Wheat and Chessboard Problem）。

古老的算术陷阱

在流传最广的传说中，古印度学者塞萨（Sessa）发明了国际象棋的雏形，并将其献给了国王。国王许诺要啥给啥，塞萨只提出了一个看似卑微的请求：在  共 64 格的棋盘上赐予麦粒，第 1 格放 1 粒，第 2 格放 2 粒，第 3 格放 4 粒，此后每一格都比前一格翻一倍，直至填满整张棋盘。

国王哑然失笑，欣然允诺。但国库总管彻夜核算后却报告：即便倾尽整个王国的粮仓，即便全国土地翻耕播种数百年，也根本凑不齐这笔赏赐。

这则传说并非全然虚构。阿拉伯史学家伊本・赫利坎（Ibn Khallikan，1211—1282 年）在 1256 年修成传记体巨著《名人殁年录》（Wafayat al‑Aʿyān），书中留下了现存最早关于这一故事的明确记载。

更早的 10 世纪，历史学家马苏第（al‑Masudi）也曾记录，古印度数学家习惯借助棋盘方格来演算成倍递增的数列。

英国东方学家麦克唐奈（A. A. Macdonnell）在考证该母题时发现了一条有趣的词源学线索：阿拉伯语中用来指代棋盘方格的词汇 beit（原意为“房屋”或“隔间”），在古印度早期数学文献中对应的梵语是 koṣṭhāgāra——其字面本义正是粮仓。

早在公元 5 世纪，古印度天文学家阿耶波多（Āryabhaṭha，生于公元 476 年）就展现出了对超大数量级级数运算的非凡造诣。

在古代东方数学家眼中，这张纵横交错的木质棋盘从来不只是一方对弈的战场，它本身就是一个被抽象化的、足以吞噬整个物理宇宙的“数学怪兽”。

算出麦粒的总数

想要算出这 64 格麦粒的总量，需要用到一点代数技巧。设麦粒总数为 （下标 64 表示棋盘共有 64 格）：

这里的  是每一格的编号（从 0 开始计数，对应第 1 格到第 64 格），求和符号  表示把后面的式子按  从 0 到 63 依次取值再相加。

这种每一项都是前一项固定倍数的数列，数学上称为等比数列。有一种极为巧妙的化简方法，错位相减法可以解决此类问题。

不妨把问题推广到任意项数 ，设前  项的和为 ：

把等式两边同时乘以公比 2（即数列里“后一项与前一项的固定比值”），整个数列在指数上整体右移一位：

对比两式，除了首尾两项，中间的交叉项完全重合。两式相减，庞大的级数就发生了相消坍缩：

这正是等比数列求和通式的一个特例。对于首项为 、公比为 （）的有限等比数列，求和公式是：

这里要求 ，否则分母为零，公式本身会失效——不过那种情况下每一项都相等，总和直接用“项数 × 首项”就能算出，并不需要这条公式。

取首项 、公比 、项数 ，代入求和公式：

读作：1844 京 6744 兆 737 亿 955 万 1615

在数论里，形如  的整数被称为梅森数（Mersenne Number）。棋盘上的麦粒总数，恰好是第 64 个梅森数 。

棋盘的后半段

从前面的求和公式，可以提炼出一个值得注意点：

在以 2 为底的指数增长序列中，任何一步所产生的单项增量，都严格大于此前所有历史累加的总和（恰好多出 1）。 正是这一特性，让棋盘的前半段和后半段变成了两个完全不同的世界。我们以第 32 格为界，把整张棋盘一分为二。

前半盘（第 1 格至第 32 格）的麦粒总数是：

按估算一粒小麦的平均质量约为 65 毫克（ 千克）。把前半盘这 43 亿粒麦子换算成重量：

279 吨粮食，四五节现代铁路货运车厢就能一次拉走。对古代任何一个中等规模的封建领主而言，这都是一笔虽然肉痛、却还能够兑现的赏赐。

真正的质变，发生在跨入后半盘的下一个瞬间。

后半盘的第一格，也就是第 33 格，单格麦粒数是  粒，单单这一格的数量，就比前半盘 32 个格子的总和还多出 1 粒。

而推演到棋盘的右下角、也就是第 64 格时，单格数量已经膨胀到：

仅最后一格的麦粒数，就已是整个前半盘总量的 20 多亿倍。

而全盘 64 格的麦粒总质量是：

也就是约 1.2 万亿公吨。据联合国粮农组织（FAO）近年估计，全球小麦年总产量大致在 7.8 亿至 8.4 亿吨之间。这意味着，塞萨向国王索要的麦子，相当于全人类以今天的农业科技水平，连续耕种近 1500 年的小麦总收成。

未来学家雷·库兹韦尔（Ray Kurzweil）在讨论信息技术演进时，借用了这个数学模型，提出了著名的战略隐喻——“棋盘后半段”（Second Half of the Chessboard）。

在芯片与算力这类领域中，技术前期的翻倍因为基数太小，往往很难察觉；可一旦越过临界点，哪怕仅仅再翻一倍，新增的绝对规模都会超过以往所有历史的总和，瞬间对整个社会带来颠覆性的冲击。

数学与物理世界的边界

在纯数学的世界里，指数函数  可以随着  的增大不断跨越任何给定的界限。数学符号赋予了它不受限制的自由增长。可是，一旦这个公式被拿来对应现实中的事物，就必须服从热力学、空间几何与物质守恒的限制了。

天文学家卡尔·萨根（Carl Sagan）在他生前最后一部文集《亿万又亿万》（Billions and Billions）里，把探讨人口与生态问题的一章就命名为"波斯棋盘"。在分析微生物不受约束的几何级数式分裂时，他写道："指数增长不可能永远持续下去，因为它们终将吞噬一切。"

而著名研究报告《增长的极限》（The Limits to Growth）同样以此发出警告：在一个资源有限的系统里，任何指数级的增长终究无法长久持续。

参考资料：维基百科(wheat and chessboard problem)